Межотраслевой баланс — Модель Леонтьева

Справочная система

Уравнение МОБ

X = A·X + Y

Валовой выпуск = промежуточное потребление + конечный спрос.
X — выпуск, A·X — что уходит между отраслями, Y — что идёт потребителю.

Формула Леонтьева

X = (I − A)⁻¹ · Y

Обратная матрица Леонтьева (I−A)⁻¹ показывает полные (прямые + косвенные) затраты на единицу конечного спроса.

Коэффициент прямых затрат

a_ij = x_ij / X_j

Сколько продукции отрасли i нужно, чтобы произвести единицу продукции отрасли j.

📊 Прямые и полные затраты: в чём разница? +

Прямые затраты — это то, что отрасль покупает непосредственно у другой. Например, трубное производство напрямую закупает сталь у металлургии. Коэффициент a₁₂ = 0.45 означает: чтобы выпустить 1 тонну труб, нужно 0.45 тонны стали.

Полные затраты (матрица Леонтьева) учитывают цепочку: трубам нужна сталь, но чтобы сделать эту сталь, металлургии тоже нужны энергия, оборудование и т.д. — и так по всей цепи.

Вот почему (I−A)⁻¹ всегда больше или равна A: она включает все косвенные эффекты.

🧮 Как вычисляется обратная матрица? +

Для матрицы 2×2 обратная вычисляется через определитель:

A⁻¹ = (1/det(A)) · [[d, -b], [-c, a]], где det(A) = ad − bc

Для матриц большего размера (как в нашем случае, 5×5) используют метод Гаусса-Жордана или разложение LU. В данном симуляторе матрица обращается численно по методу Гаусса с выбором главного элемента.

Важно: матрица (I−A) должна быть невырожденной — то есть её определитель ≠ 0. Для экономически осмысленных матриц затрат это всегда выполнено.

🏛️ История: Василий Леонтьев и Нобелевская премия +

🏆

Василий Васильевич Леонтьев (1905–1999) Русско-американский экономист, создатель метода «затраты-выпуск». Родился в Санкт-Петербурге, эмигрировал в 1925 году. В 1941 году опубликовал анализ американской экономики через матрицу 42×42. В 1973 году получил Нобелевскую премию по экономике — «за развитие метода межотраслевого анализа и его применение к важным экономическим проблемам».

Метод МОБ применяется в государственном планировании (СССР, Япония, Китай), экологическом анализе (carbon footprint по цепочкам), оценке мультипликативного эффекта инвестиций.

Леонтьев также открыл «Парадокс Леонтьева»: США, богатые капиталом, экспортировали трудоёмкие товары — противоречие теории Хекшера-Олина.

💡 Почему без матрицы нельзя планировать производство? +

Представьте: государство хочет построить 100 км водопровода. Сколько стали нужно заказать?

Без МОБ: трубам нужно X тонн стали — заказали X. Но забыли, что сами соединители тоже содержат металл, что сварочный аппарат сделан из стали, что транспортные компании тоже потребляют металлоёмкую технику.

МОБ считает ВСЕ прямые и косвенные потребности одновременно, решая систему уравнений. Без этого — дефицит на каком-то звене цепи, и весь проект останавливается.

Именно поэтому советское Госпланирование и современные модели supply chain используют метод Леонтьева.

Как работает формула Леонтьева